คณิตศาสตร์การเงิน: คู่มือฉบับสมบูรณ์สำหรับแบบจำลองการกำหนดราคาออปชัน

คณิตศาสตร์การเงินคือการประยุกต์ใช้วิธีการทางคณิตศาสตร์และสถิติเพื่อแก้ปัญหาทางการเงิน แขนงหลักในสาขานี้คือ การกำหนดราคาออปชัน ซึ่งมีจุดมุ่งหมายเพื่อกำหนดมูลค่ายุติธรรมของสัญญาออปชัน ออปชันให้สิทธิ์แก่ผู้ถือ แต่ไม่ใช่ภาระผูกพัน ในการซื้อหรือขายสินทรัพย์อ้างอิงในราคาที่กำหนดไว้ล่วงหน้า (ราคาใช้สิทธิ์) ณ หรือก่อนวันที่กำหนด (วันหมดอายุ) คู่มือนี้จะสำรวจแนวคิดพื้นฐานและแบบจำลองที่ใช้กันอย่างแพร่หลายในการกำหนดราคาออปชัน

ทำความเข้าใจออปชัน: มุมมองระดับโลก

สัญญาออปชันมีการซื้อขายทั่วโลกในตลาดที่เป็นทางการและตลาดซื้อขายโดยตรง (OTC) ความสามารถในการใช้งานที่หลากหลายทำให้ออปชันเป็นเครื่องมือที่จำเป็นสำหรับการบริหารความเสี่ยง การเก็งกำไร และการปรับพอร์ตการลงทุนให้เหมาะสมสำหรับนักลงทุนและสถาบันทั่วโลก การทำความเข้าใจในความแตกต่างของออปชันจำเป็นต้องอาศัยความเข้าใจที่มั่นคงในหลักการทางคณิตศาสตร์ที่เป็นรากฐาน

ประเภทของออปชัน

• คอลออปชัน (Call Option): ให้สิทธิ์แก่ผู้ถือในการ *ซื้อ* สินทรัพย์อ้างอิง
• พุทออปชัน (Put Option): ให้สิทธิ์แก่ผู้ถือในการ *ขาย* สินทรัพย์อ้างอิง

รูปแบบของออปชัน

• ออปชันยุโรป (European Option): สามารถใช้สิทธิ์ได้เฉพาะในวันหมดอายุเท่านั้น
• ออปชันอเมริกัน (American Option): สามารถใช้สิทธิ์ได้ตลอดเวลาจนถึงและรวมถึงวันหมดอายุ
• ออปชันเอเชีย (Asian Option): ผลตอบแทนขึ้นอยู่กับราคาเฉลี่ยของสินทรัพย์อ้างอิงในช่วงเวลาที่กำหนด

แบบจำลองแบล็ก-โชลส์: รากฐานสำคัญของการกำหนดราคาออปชัน

แบบจำลองแบล็ก-โชลส์ ซึ่งพัฒนาโดย Fischer Black และ Myron Scholes (โดยมีการสนับสนุนที่สำคัญจาก Robert Merton) เป็นรากฐานสำคัญของทฤษฎีการกำหนดราคาออปชัน โดยให้ค่าประมาณตามทฤษฎีของราคาออปชันสไตล์ยุโรป แบบจำลองนี้ได้ปฏิวัติวงการการเงินและทำให้ Scholes และ Merton ได้รับรางวัลโนเบลสาขาเศรษฐศาสตร์ในปี 1997 ข้อสมมติฐานและข้อจำกัดของแบบจำลองนี้เป็นสิ่งสำคัญที่ต้องทำความเข้าใจเพื่อการนำไปใช้อย่างเหมาะสม

ข้อสมมติฐานของแบบจำลองแบล็ก-โชลส์

แบบจำลองแบล็ก-โชลส์ตั้งอยู่บนข้อสมมติฐานที่สำคัญหลายประการ:

• ความผันผวนคงที่: ความผันผวนของสินทรัพย์อ้างอิงคงที่ตลอดอายุของออปชัน ซึ่งมักจะไม่เป็นเช่นนั้นในตลาดจริง
• อัตราดอกเบี้ยที่ปราศจากความเสี่ยงคงที่: อัตราดอกเบี้ยที่ปราศจากความเสี่ยงคงที่ ในทางปฏิบัติ อัตราดอกเบี้ยมีความผันผวน
• ไม่มีเงินปันผล: สินทรัพย์อ้างอิงไม่มีการจ่ายเงินปันผลในช่วงอายุของออปชัน ข้อสมมติฐานนี้สามารถปรับเปลี่ยนได้สำหรับสินทรัพย์ที่มีการจ่ายเงินปันผล
• ตลาดที่มีประสิทธิภาพ: ตลาดมีประสิทธิภาพ หมายความว่าข้อมูลจะสะท้อนในราคาทันที
• การแจกแจงแบบล็อกนอร์มอล: ผลตอบแทนของสินทรัพย์อ้างอิงมีการแจกแจงแบบล็อกนอร์มอล
• สไตล์ยุโรป: ออปชันสามารถใช้สิทธิ์ได้เฉพาะเมื่อหมดอายุเท่านั้น
• ตลาดที่ไม่มีอุปสรรค: ไม่มีค่าธรรมเนียมการทำธุรกรรมหรือภาษี

สูตรของแบล็ก-โชลส์

สูตรแบล็ก-โชลส์สำหรับคอลออปชันและพุทออปชันมีดังนี้:

ราคาคอลออปชัน (C):

C = S * N(d1) - K * e^(-rT) * N(d2)

ราคาพุทออปชัน (P):

P = K * e^(-rT) * N(-d2) - S * N(-d1)

โดยที่:

• S = ราคาปัจจุบันของสินทรัพย์อ้างอิง
• K = ราคาใช้สิทธิ์ของออปชัน
• r = อัตราดอกเบี้ยที่ปราศจากความเสี่ยง
• T = อายุคงเหลือจนถึงวันหมดอายุ (หน่วยเป็นปี)
• N(x) = ฟังก์ชันการแจกแจงปกติสะสมมาตรฐาน
• e = ฐานของลอการิทึมธรรมชาติ (ประมาณ 2.71828)
• d1 = [ln(S/K) + (r + (σ^2)/2) * T] / (σ * sqrt(T))
• d2 = d1 - σ * sqrt(T)
• σ = ความผันผวนของสินทรัพย์อ้างอิง

ตัวอย่างการใช้งานจริง: การประยุกต์ใช้แบบจำลองแบล็ก-โชลส์

ลองพิจารณาคอลออปชันยุโรปของหุ้นที่ซื้อขายในตลาดหลักทรัพย์แฟรงก์เฟิร์ต (DAX) สมมติว่าราคาหุ้นปัจจุบัน (S) คือ €150 ราคาใช้สิทธิ์ (K) คือ €160 อัตราดอกเบี้ยที่ปราศจากความเสี่ยง (r) คือ 2% (0.02) อายุคงเหลือจนถึงวันหมดอายุ (T) คือ 0.5 ปี และความผันผวน (σ) คือ 25% (0.25) เราสามารถคำนวณราคาตามทฤษฎีของคอลออปชันได้โดยใช้สูตรแบล็ก-โชลส์

1. คำนวณ d1: d1 = [ln(150/160) + (0.02 + (0.25^2)/2) * 0.5] / (0.25 * sqrt(0.5)) ≈ -0.055
2. คำนวณ d2: d2 = -0.055 - 0.25 * sqrt(0.5) ≈ -0.232
3. หาค่า N(d1) และ N(d2) โดยใช้ตารางการแจกแจงปกติมาตรฐานหรือเครื่องคิดเลข: N(-0.055) ≈ 0.478, N(-0.232) ≈ 0.408
4. คำนวณราคาคอลออปชัน: C = 150 * 0.478 - 160 * e^(-0.02 * 0.5) * 0.408 ≈ €10.08

ดังนั้น ราคาตามทฤษฎีของคอลออปชันยุโรปนี้อยู่ที่ประมาณ €10.08

ข้อจำกัดและความท้าทาย

แม้จะมีการใช้อย่างแพร่หลาย แต่แบบจำลองแบล็ก-โชลส์ก็มีข้อจำกัด ข้อสมมติฐานเรื่องความผันผวนคงที่มักถูกละเมิดในตลาดจริง ทำให้เกิดความคลาดเคลื่อนระหว่างราคาจากแบบจำลองกับราคาตลาด แบบจำลองนี้ยังประสบปัญหาในการกำหนดราคาออปชันที่มีลักษณะซับซ้อนได้อย่างแม่นยำ เช่น ออปชันประเภทมีเงื่อนไข (barrier options) หรือออปชันเอเชีย (Asian options)

นอกเหนือจากแบล็ก-โชลส์: แบบจำลองการกำหนดราคาออปชันขั้นสูง

เพื่อเอาชนะข้อจำกัดของแบบจำลองแบล็ก-โชลส์ ได้มีการพัฒนาแบบจำลองขั้นสูงต่างๆ ขึ้นมา แบบจำลองเหล่านี้รวมเอาข้อสมมติฐานที่สมจริงมากขึ้นเกี่ยวกับพฤติกรรมของตลาดและสามารถจัดการกับออปชันได้หลากหลายประเภทมากขึ้น

แบบจำลองความผันผวนเชิงสโตแคสติก

แบบจำลองความผันผวนเชิงสโตแคสติกยอมรับว่าความผันผวนไม่ได้คงที่ แต่เปลี่ยนแปลงแบบสุ่มไปตามกาลเวลา แบบจำลองเหล่านี้ใช้กระบวนการสโตแคสติกเพื่ออธิบายวิวัฒนาการของความผันผวน ตัวอย่างเช่น แบบจำลอง Heston และแบบจำลอง SABR โดยทั่วไปแบบจำลองเหล่านี้จะให้ผลลัพธ์ที่สอดคล้องกับข้อมูลตลาดได้ดีกว่า โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับออปชันที่มีอายุยาว

แบบจำลองการแพร่กระจายแบบกระโดด (Jump-Diffusion Models)

แบบจำลองการแพร่กระจายแบบกระโดดคำนึงถึงความเป็นไปได้ที่ราคาของสินทรัพย์จะมีการกระโดดอย่างฉับพลันและไม่ต่อเนื่อง การกระโดดเหล่านี้อาจเกิดจากข่าวที่ไม่คาดคิดหรือสภาวะตลาดที่น่าตกใจ แบบจำลองการแพร่กระจายแบบกระโดดของ Merton เป็นตัวอย่างคลาสสิก แบบจำลองเหล่านี้มีประโยชน์อย่างยิ่งในการกำหนดราคาออปชันของสินทรัพย์ที่มีแนวโน้มที่จะเกิดการแกว่งตัวของราคาอย่างรุนแรง เช่น สินค้าโภคภัณฑ์หรือหุ้นในกลุ่มที่มีความผันผวนสูงอย่างเทคโนโลยี

แบบจำลองต้นไม้สองทาง (Binomial Tree Model)

แบบจำลองต้นไม้สองทางเป็นแบบจำลองเวลาไม่ต่อเนื่องที่ประมาณการเคลื่อนไหวของราคาของสินทรัพย์อ้างอิงโดยใช้ต้นไม้สองทาง เป็นแบบจำลองที่หลากหลายซึ่งสามารถจัดการกับออปชันสไตล์อเมริกันและออปชันที่มีผลตอบแทนขึ้นอยู่กับเส้นทางของราคา (path-dependent) ได้ แบบจำลอง Cox-Ross-Rubinstein (CRR) เป็นตัวอย่างที่ได้รับความนิยม ความยืดหยุ่นของมันทำให้มีประโยชน์สำหรับการสอนแนวคิดการกำหนดราคาออปชันและสำหรับการกำหนดราคาออปชันที่ไม่มีสูตรสำเร็จ (closed-form solution)

วิธีผลต่างจำกัด (Finite Difference Methods)

วิธีผลต่างจำกัดเป็นเทคนิคเชิงตัวเลขสำหรับแก้สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย (PDEs) วิธีการเหล่านี้สามารถใช้ในการกำหนดราคาออปชันโดยการแก้สมการ PDE ของแบล็ก-โชลส์ มีประโยชน์อย่างยิ่งสำหรับการกำหนดราคาออปชันที่มีคุณสมบัติหรือเงื่อนไขขอบเขตที่ซับซ้อน แนวทางนี้ให้ค่าประมาณเชิงตัวเลขของราคาออปชันโดยการแบ่งช่วงเวลาและโดเมนราคาของสินทรัพย์ออกเป็นส่วนย่อยๆ

ความผันผวนโดยนัย: การวัดความคาดหวังของตลาด

ความผันผวนโดยนัยคือความผันผวนที่สะท้อนอยู่ในราคาตลาดของออปชัน เป็นค่าความผันผวนที่เมื่อนำไปใส่ในแบบจำลองแบล็ก-โชลส์แล้ว จะได้ราคาตลาดของออปชันที่สังเกตได้ ความผันผวนโดยนัยเป็นตัวชี้วัดที่มองไปข้างหน้าซึ่งสะท้อนถึงความคาดหวังของตลาดเกี่ยวกับความผันผวนของราคาในอนาคต มักจะระบุเป็นเปอร์เซ็นต์ต่อปี

ความโค้ง/ความเบ้ของความผันผวน (Volatility Smile/Skew)

ในทางปฏิบัติ ความผันผวนโดยนัยมักจะแตกต่างกันไปตามราคาใช้สิทธิ์ต่างๆ สำหรับออปชันที่มีวันหมดอายุเดียวกัน ปรากฏการณ์นี้เรียกว่าความโค้งของความผันผวน (volatility smile) (สำหรับออปชันของหุ้น) หรือความเบ้ของความผันผวน (volatility skew) (สำหรับออปชันของสกุลเงิน) รูปร่างของความโค้ง/ความเบ้ของความผันผวนให้ข้อมูลเชิงลึกเกี่ยวกับความเชื่อมั่นของตลาดและการหลีกเลี่ยงความเสี่ยง ตัวอย่างเช่น ความเบ้ที่ชันขึ้นอาจบ่งชี้ถึงความต้องการที่มากขึ้นสำหรับการป้องกันความเสี่ยงขาลง ซึ่งชี้ให้เห็นว่านักลงทุนกังวลเกี่ยวกับการล่มของตลาดที่อาจเกิดขึ้น

การใช้ความผันผวนโดยนัย

ความผันผวนโดยนัยเป็นปัจจัยสำคัญสำหรับผู้ค้าออปชันและผู้จัดการความเสี่ยง ช่วยให้พวกเขาสามารถ:

• ประเมินมูลค่าเปรียบเทียบของออปชัน
• ระบุโอกาสในการซื้อขายที่อาจเกิดขึ้น
• บริหารความเสี่ยงโดยการป้องกันความเสี่ยงจากความผันผวน
• วัดความเชื่อมั่นของตลาด

ออปชันประเภทซับซ้อน (Exotic Options): การปรับแต่งให้เข้ากับความต้องการเฉพาะ

ออปชันประเภทซับซ้อน (Exotic options) คือออปชันที่มีคุณสมบัติซับซ้อนกว่าออปชันยุโรปหรืออเมริกันมาตรฐาน ออปชันเหล่านี้มักถูกปรับแต่งให้ตรงตามความต้องการเฉพาะของนักลงทุนสถาบันหรือบริษัทต่างๆ ตัวอย่างเช่น ออปชันประเภทมีเงื่อนไข (barrier options), ออปชันเอเชีย (Asian options), ลุคแบ็คออปชัน (lookback options) และคลิเกต์ออปชัน (cliquet options) ผลตอบแทนของออปชันเหล่านี้อาจขึ้นอยู่กับปัจจัยต่างๆ เช่น เส้นทางของสินทรัพย์อ้างอิง เหตุการณ์เฉพาะ หรือผลการดำเนินงานของสินทรัพย์หลายรายการ

ออปชันประเภทมีเงื่อนไข (Barrier Options)

ออปชันประเภทมีเงื่อนไขมีผลตอบแทนที่ขึ้นอยู่กับว่าราคาสินทรัพย์อ้างอิงไปถึงระดับราคาที่กำหนดไว้ล่วงหน้า (barrier) ในช่วงอายุของออปชันหรือไม่ หากราคาทะลุผ่านระดับดังกล่าว ออปชันอาจจะเริ่มมีผล (knock-in) หรือสิ้นสุดลง (knock-out) ออปชันเหล่านี้มักใช้เพื่อป้องกันความเสี่ยงเฉพาะ หรือเพื่อเก็งกำไรจากความน่าจะเป็นที่ราคาสินทรัพย์จะไปถึงระดับที่กำหนด และโดยทั่วไปจะมีราคาถูกกว่าออปชันมาตรฐาน

ออปชันเอเชีย (Asian Options)

ออปชันเอเชีย (หรือที่เรียกว่าออปชันราคาเฉลี่ย) มีผลตอบแทนที่ขึ้นอยู่กับราคาเฉลี่ยของสินทรัพย์อ้างอิงในช่วงเวลาที่กำหนด ซึ่งอาจเป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตหรือเรขาคณิต ออปชันเอเชียมักใช้เพื่อป้องกันความเสี่ยงจากสินค้าโภคภัณฑ์หรือสกุลเงินที่ความผันผวนของราคาสูง โดยทั่วไปจะมีราคาถูกกว่าออปชันมาตรฐานเนื่องจากผลของการเฉลี่ยซึ่งช่วยลดความผันผวน

ลุคแบ็คออปชัน (Lookback Options)

ลุคแบ็คออปชันช่วยให้ผู้ถือสามารถซื้อหรือขายสินทรัพย์อ้างอิงในราคาที่ดีที่สุดที่สังเกตได้ในช่วงอายุของออปชัน ออปชันประเภทนี้มีศักยภาพในการทำกำไรสูงหากราคาของสินทรัพย์เคลื่อนไหวไปในทิศทางที่เอื้ออำนวย แต่ก็มาพร้อมกับค่าพรีเมียมที่สูงขึ้นเช่นกัน

การบริหารความเสี่ยงด้วยออปชัน

ออปชันเป็นเครื่องมือที่มีประสิทธิภาพสำหรับการบริหารความเสี่ยง สามารถใช้เพื่อป้องกันความเสี่ยงประเภทต่างๆ รวมถึงความเสี่ยงด้านราคา ความเสี่ยงด้านความผันผวน และความเสี่ยงด้านอัตราดอกเบี้ย กลยุทธ์การป้องกันความเสี่ยงที่พบบ่อย ได้แก่ covered calls, protective puts และ straddles กลยุทธ์เหล่านี้ช่วยให้นักลงทุนสามารถปกป้องพอร์ตการลงทุนของตนจากการเคลื่อนไหวของตลาดที่ไม่พึงประสงค์ หรือทำกำไรจากสภาวะตลาดที่เฉพาะเจาะจง

การป้องกันความเสี่ยงด้วยเดลต้า (Delta Hedging)

การป้องกันความเสี่ยงด้วยเดลต้าเกี่ยวข้องกับการปรับสถานะของพอร์ตการลงทุนในสินทรัพย์อ้างอิงเพื่อชดเชยค่าเดลต้าของออปชันที่ถืออยู่ในพอร์ต เดลต้าของออปชันวัดความไวของราคาออปชันต่อการเปลี่ยนแปลงของราคาสินทรัพย์อ้างอิง โดยการปรับการป้องกันความเสี่ยงอย่างต่อเนื่อง ผู้ค้าสามารถลดความเสี่ยงด้านราคาได้ นี่เป็นเทคนิคที่ผู้ดูแลสภาพคล่องใช้กันโดยทั่วไป

การป้องกันความเสี่ยงด้วยแกมมา (Gamma Hedging)

การป้องกันความเสี่ยงด้วยแกมมาเกี่ยวข้องกับการปรับสถานะของพอร์ตการลงทุนในออปชันเพื่อชดเชยค่าแกมมาของพอร์ต แกมมาของออปชันวัดความไวของค่าเดลต้าของออปชันต่อการเปลี่ยนแปลงของราคาสินทรัพย์อ้างอิง การป้องกันความเสี่ยงด้วยแกมมาใช้เพื่อจัดการความเสี่ยงที่เกี่ยวข้องกับการเคลื่อนไหวของราคาอย่างรุนแรง

การป้องกันความเสี่ยงด้วยเวกา (Vega Hedging)

การป้องกันความเสี่ยงด้วยเวกาเกี่ยวข้องกับการปรับสถานะของพอร์ตการลงทุนในออปชันเพื่อชดเชยค่าเวกาของพอร์ต เวกาของออปชันวัดความไวของราคาออปชันต่อการเปลี่ยนแปลงของความผันผวนของสินทรัพย์อ้างอิง การป้องกันความเสี่ยงด้วยเวกาใช้เพื่อจัดการความเสี่ยงที่เกี่ยวข้องกับการเปลี่ยนแปลงของความผันผวนของตลาด

ความสำคัญของการปรับเทียบและการตรวจสอบความถูกต้อง

แบบจำลองการกำหนดราคาออปชันที่แม่นยำจะมีประสิทธิภาพก็ต่อเมื่อได้รับการปรับเทียบและตรวจสอบความถูกต้องอย่างเหมาะสม การปรับเทียบ (Calibration) คือการปรับพารามิเตอร์ของแบบจำลองให้พอดีกับราคาตลาดที่สังเกตได้ การตรวจสอบความถูกต้อง (Validation) คือการทดสอบประสิทธิภาพของแบบจำลองกับข้อมูลในอดีตเพื่อประเมินความแม่นยำและความน่าเชื่อถือ กระบวนการเหล่านี้จำเป็นอย่างยิ่งเพื่อให้แน่ใจว่าแบบจำลองให้ผลลัพธ์ที่สมเหตุสมผลและน่าเชื่อถือ การทดสอบย้อนหลัง (Backtesting) โดยใช้ข้อมูลในอดีตมีความสำคัญอย่างยิ่งในการระบุอคติหรือจุดอ่อนที่อาจเกิดขึ้นในแบบจำลอง

อนาคตของการกำหนดราคาออปชัน

สาขาการกำหนดราคาออปชันยังคงมีการพัฒนาอย่างต่อเนื่อง นักวิจัยกำลังพัฒนาแบบจำลองและเทคนิคใหม่ๆ อยู่เสมอเพื่อรับมือกับความท้าทายในการกำหนดราคาออปชันในตลาดที่มีความซับซ้อนและผันผวนมากขึ้นเรื่อยๆ สาขาการวิจัยที่กำลังเป็นที่สนใจ ได้แก่:

• การเรียนรู้ของเครื่อง (Machine Learning): การใช้อัลกอริทึมการเรียนรู้ของเครื่องเพื่อปรับปรุงความแม่นยำและประสิทธิภาพของแบบจำลองการกำหนดราคาออปชัน
• การเรียนรู้เชิงลึก (Deep Learning): การสำรวจเทคนิคการเรียนรู้เชิงลึกเพื่อจับรูปแบบที่ซับซ้อนในข้อมูลตลาดและปรับปรุงการคาดการณ์ความผันผวน
• การวิเคราะห์ข้อมูลความถี่สูง (High-Frequency Data Analysis): การใช้ข้อมูลความถี่สูงเพื่อปรับปรุงแบบจำลองการกำหนดราคาออปชันและกลยุทธ์การบริหารความเสี่ยง
• คอมพิวเตอร์ควอนตัม (Quantum Computing): การศึกษาศักยภาพของคอมพิวเตอร์ควอนตัมในการแก้ปัญหาการกำหนดราคาออปชันที่ซับซ้อน

สรุป

การกำหนดราคาออปชันเป็นสาขาที่ซับซ้อนและน่าสนใจของคณิตศาสตร์การเงิน การทำความเข้าใจแนวคิดพื้นฐานและแบบจำลองที่กล่าวถึงในคู่มือนี้เป็นสิ่งจำเป็นสำหรับทุกคนที่เกี่ยวข้องกับการซื้อขายออปชัน การบริหารความเสี่ยง หรือวิศวกรรมการเงิน ตั้งแต่แบบจำลองแบล็ก-โชลส์ที่เป็นรากฐานไปจนถึงแบบจำลองความผันผวนเชิงสโตแคสติกและแบบจำลองการแพร่กระจายแบบกระโดดขั้นสูง แต่ละแนวทางนำเสนอข้อมูลเชิงลึกที่ไม่เหมือนใครเกี่ยวกับพฤติกรรมของตลาดออปชัน การติดตามความคืบหน้าล่าสุดในสาขานี้จะช่วยให้ผู้เชี่ยวชาญสามารถตัดสินใจได้อย่างมีข้อมูลและบริหารความเสี่ยงได้อย่างมีประสิทธิภาพมากขึ้นในภูมิทัศน์การเงินระดับโลก